视频解析：二重积分计算的一般思路、方法、计算性质与题型、典型题解析

例 设区域,,,。

1、计算；

2、设在上连续，且

试证明：存在点，使得

参考解答：1、 根据二重积分的一般思路与步骤：

「第一步」：画图. 绘制边界曲线，确定积分区域范围。

「第二步」：分析图形的对称性与奇偶性，确定最终需要计算的积分。

第三步：分析被积函数（初等函数表达式）的结构和积分区域的图形特征，确定构建累次积分的坐标系。

令，分割积分区域为左右两部分，记作，在上绝对值取负，在绝对值取正。于是由积分的区域可加性，可得

由被积函数的结构（平方和）与积分区域的图形特征（圆和射线，直线围成），积分区域适合极坐标计算方法。

第四步：构建累次积分表达式，也就是写出积分区域的不等式描述形式。对于极坐标方法，多了一个步骤：

(1) 转换描述区域的边界曲线方程为极坐标方程。

(2) 画图定型：两个积分区域都是简单的型区域；

(3) 投影（扫描）得型限：两个积分区域都有；

(4) 画线定余限：

(5) 写出累次积分表达式:

第五步：计算。余变先积分，最后积型变。

所以

2、 由已知函数在闭区域年连续，由闭区域上连续函数的最值定理，可知存在，使得。并且由已知积分等式，可得

即。所以由最值的存在性，可知存在点，使得