专题41-重积分应用建模的基本思想与相关内容、题型总结与典型题分析

考研竞赛数学 · 发表于 2020-5-13 07:18:36

一、重积分应用建模的基本思想与建模步骤

1、重积分建模基本思想与思路

2、应用建模实例：传染病传播模型

二、重积分的几何意义

1、平面区域的面积

2、空间立体体积的积分模型

三、曲面面积的积分模型

1、直角坐标系下曲面面积的计算

2、球坐标系下的曲面面积的计算

3、由参数方程描述的曲面面积的计算

四、重积分的物理应用

1、物体的质量积分模型

2、质心、形心积分模型

3、转动惯量积分模型

4、物体对质点的引力积分模型

五、重积分计算的一般思路与方法

(1) 画域图：平面区域绘制边界曲线，空间区域绘制边界曲面的方式来确定积分区域.

(2) 利用对称性简化、转换积分计算：在直角坐标系下，分析积分区域图形整体，或分割后的部分的对称性（平面区域关于坐标轴的对称性、空间区域关于坐标面的对称性，轮换对称性），分析被积函数整体，或经过加减拆项后的函数的奇偶性，如果对称区域上有相匹配的被积函数的奇偶性，则可以借助“偶倍奇零”计算性质简化、转换积分；如果积分区域具有轮换对称性，则考虑使用“轮换对称性”简化、转换积分，获得最终需要计算的积分模型（积分表达式与最终积分区域）.

【注】如果被积函数不为初等函数表达式，一般首先考虑将被积函数转换为初等函数表达式来讨论，比如绝对值函数、最值函数、取整函数、符号函数等，一般通过分割积分区域，基于积分对区域的可加性，转换为初等函数的积分来讨论.

(3)确定构建累次积分的坐标系类型：根据被积函数的结构与积分区域的图形特征确定构建累次积分的坐标系类型.

【注】如果不能有效确定，或者计算过于复杂，则考虑换元法.换元后获得的积分模型，重新(1)开始讨论其计算方法与步骤.

(4) 确定积分区域类型：在选定的坐标系中，从被积函数（是否可积）和积分区域（分割要少）两个方向出发，确定所考虑的简单区域类型；如二重积分直角坐标系下的简单X-型、简单Y-型；极坐标系下的简单θ-型、简单ρ-型；三重积分直角坐标系的简单XY-型、YZ-型、ZX-型，柱坐标下常用的是简单θρ-型、球坐标系系下常用的是简单θψ-型. 如果不是直接的简单类型，则可以考虑将积分区域分割成几个简单区域的并，并基于积分对区域的可加性分别计算最后求和.

【注】直角坐标系中三重积分先二后一的截面法的类型可以视为简答X-型，简单Y-型，简单Z-型，分别对应于先求、先求，先求变量的二重积分.

(5) 确定型变量的范围：投影得型限，将积分区域投影到型变量所对应的坐标轴或坐标面上，获取型变量范围.

(6) 确定余变量的范围：画线定余限. 在型变量的取值范围内任取型变量的值，在坐标系中对应的图形为一条线，将该线按照余变量增大的方向穿过积分区域，入点所在曲线（或曲面）的关于型变量的函数表达式为下限，出点所在曲线（或曲面）的关于型变量的函数表达式为上限，获取余变量的范围. 在确定余变量范围前，首先需要将边界曲线（或曲面）描述为型变量的函数表达式.

【注】二重积分型变量取定值对应图形直接为直线、三重积分两个型变量取值，对应于两个曲面的交线；二重积分平面区域为一元函数，三重积分空间区域为二元函数；直角坐标系中三重积分先二后一的截面法为截面区域视型变量为常数，由边界曲面方程确定的截面区域在坐标面上的投影范围.

(7) 写出二重积分的累次积分表达式：根据以上步骤，可以直接写出各简单积分区域的不等式描述形式，从而也就可以得到积分相应积分变量的累次积分表达式.

(8) 计算累次积分：由定积分的计算方法，完成计算. 当被积函数为常数，或者遇到某些特殊的定积分表达式，积分范围构成规则的几何形状时，可基于积分几何意义直接得到积分结果.

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第1节：三重积分计算的一般思路与步骤

第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析

第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析

第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

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