每日一题045|不可多得的一道曲面积分

发现距离上一次每日一题已经有半个多月，也有一周没更文了，今天就补上一期每日一题，这道题堪称经典，两类曲面积分的联系与高斯公式的手段这是必要的，但更重要的注意题意给出的细节问题，比如变式中并没有给出原点不在曲面上，要讨论这种情况的存在，本来原点在曲面上无意义，即所给曲面面积为广义，那我们可以采取挖洞的方式让它逼近.

问题： 设为一光滑封闭曲面，原点不在上，计算曲面积分

其中 为上点处的外法问量，且

解： 由题设可知且

即根据两类曲面积分的联系，得

(1) 若原点在 外，由高斯公式得

(2) 若原点在内，由于在球面上有瑕点，故得在其内部抠去足够小的球面，记与所围成的区域为，由高斯公式有

故

在上式中被红色强调的部分还可利用两类曲面积分的联系，由于，即单位法向量为

因此