三重积分的投影法与截面法

数学考研李扬 · 发表于 2020-6-14 19:59:20

二重积分的两个计算方法分别是化为累次积分与变量变换, 三重积分也是如此. 今天我们先学习三重积分如何化为二重积分, 即投影法与截面法:

显然投影法是先求定积分, 再求重积分; 截面法是先求重积分, 再求定积分, 于是投影法也称为先一后二, 截面法也称为先二后一. 之前分享的二重积分求体积问题其实就相当于采用投影法将三重积分化为二重积分.

三重积分的被积函数往往千变万化, 但是积分区域类型相对比较固定. 所以学习三重积分最重要的积累各种积分区域, 对固定的积分区域能都判断哪种方法更加简单方便.

接下来的很多题目既可使用投影法, 又可使用截面法, 但按照扬哥的经验与习惯, 投影法比截面法更加常用. 先来看投影法的应用:

接下来是截面法的几个应用:

另外, 三重积分也可以考虑改变累次积分的顺序, 但是这类问题没有解答过程, 扬哥留到视频课程中进行讲解:

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