在线计算专题(07)：不定积分、定积分与重积分、曲线、曲面积分的计算

1、原函数与不定积分的计算

例1 计算以下不定积分

参考输入表达式为

integrate sin(x)^5 dx

执行结果显示如下.

得到结果为一个原函数加上一个任意常数(constant).

例2  计算以下不定积分

参考输入表达式为

integrate max(x,x^2-x) dx

执行结果显示如下.

当然也会后面显示积分曲线和一些其他的积分结果. 并且对其中出现的max函数进行了解释，告知为这是一个最大值函数.

例3  计算以下不定积分

参考输入表达式为

integrate sinx/x dx

这是一个不可积函数，也可以执行计算得到结果. 只不过这个时候得到的是一个正弦积分函数SinIntegral(x)，缩写为Si(x)，它一样的可以计算函数值. 另外在积分之后给出了积分函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式和一些定积分、反常积分结果. 如下图所示.

2、定积分、反常积分计算与变限积分求导

例1  计算以下定积分

参考输入表达式为

integrate (sinx+cos(2x))^2,x=0 to pi/2

执行结果不仅给出了积分结果，也给出了定积分的几何意义，最后还给出了不定积分结果.

例2  计算以下无穷限的反常积分

参考输入表达式为

integrate 1/((1+x^2)^2),x=0 to oo

无穷大为两个字母oo，表示正无穷大，前面加负号表示负无穷大. 执行结果得到积分值，也给出被积函数的不定积分结果.

例3  求如下变限积分关于变量的导数

参考输入表达式为

d/dx (integrate f(t)g(x) dt from t= a(x) to t = b(x))

执行结果显示如下.

3、计算重积分

例1  计算以下二重积分

积分对应的累次积分表达式为

参考输入表达式为

integrate x/(1+y) dy dx, 0<=x<=1, 2x<=y<=x^2+1

注意以上输入表达式中如果输入dy dx，则表示先对积分，再对积分，与后面积分限的先后顺序无关；如果不输入dy dx，则系统会自动以常数区间范围后积分来得到结果，如输入表达式

integrate x/(1+y), 0<=x<=1, 2x<=y<=x^2+1

执行后的结果与上面表达式一致.执行结果显示如下.

如果两个积分限都为常数，则建议加上dy dx或者dx dy，不然一般按照排后面的先积分的顺序计算积分，比如以下三行表达式，第一个表示先后积分，第二个表示先后，而第三个则是先后：

integrate x y^2, 0<=x<=1, 2<=y<=3integrate x y^2, 2<=y<=3, 0<=x<=1integrate x y^2 dy dx, 2<=y<=3, 0<=x<=1

例2 设是由曲面 与平面, , 所围成的闭区域，计算三重积分

三重积分的累次积分表达式为

则参考输入表达式为

integrate x y^2 z^3 dz dy dx, 0<=x<=1,0<=y<=x,0<=z<=x y

执行结果显示如下.

【注】 三次累次积分的计算一般需要加上dz dy dx，否则可能会按照二重积分计算，后面的变量范围可能认为是参数而得不到需要的结果. 对于dz dy dx则按照从内到外的次序计算，即先对积分，再对积分，最后对积分的次序执行.

对于二重积分极坐标、三重积分直角坐标、柱坐标、球坐标一般不能像Mathematica中那样在区域上，直接计算积分而不需要构建累次积分表达式（具体使用方法参见推文：一道积分算一天，你确信积分对了吗？）. 这里一般先构建累次积分表达式，然后来执行计算. 关于其他坐标系中变量符号虽然可以借助于输入法的特殊符号键盘方式输入，也可以直接由编辑框下面的扩展键盘[Extended Keyboard]输入，包括积分符号. 但是，可能系统内部对日常的变量, , 比较敏感，对其他符号描述变量不一定认定为合适的符号识别，所以建议积分变量都用, , 变量描述比较容易计算得到需要的结果，比如计算如下球坐标系下的累次积分

建议输入的参考表达式为

integrate z^3 siny cosy dz dy dx, 0≤x≤2pi,0≤y≤pi/4,0≤z≤2a cosy

其中, , 表示. 执行计算的结果如下

4、计算曲线积分

曲线积分、曲面积分和重积分一样，一般转换为定积分，或累次积分表达式来完成计算.

例1  计算以下对弧长的曲线积分

由对弧长的曲线积分的参数方程方法，可得曲线参数方程为

参考输入表达式为

integrate cost sint+(cost)^2+1,0≤t≤2π

其中不等号和圆周率可以直接通过输入编辑框左下角位置的[Extended Keyboard]打开特殊符号输入面板输入，或者由输入法的特殊符号虚拟键盘输入，输入方式及执行结果显示如下.

结果不仅显示定积分结果，也给出了定积分的几何描述以及不定积分结果.

例2  计算以下对坐标的曲线积分

由对坐标的曲线积分的直接计算法，曲线的参数方程为

直接将表达式代入被积表达式，可得

为计算，输入表达式

((1-x^2)^(1/2))'

执行计算得到结果为

将它代入后得积分为

直接计算定积分，对应的输入的参考表达式为

integrate e^x+((1-x^2)^(1/2))-(e^((1-x^2)^(1/2))+x)(-x/((1-x^2)^(1/2))),-1<=x<=1

执行计算得到结果为

5、计算曲面积分

例1 用对面积的曲面积分计算圆柱面 位于上方及平面下方那部分柱面的面积.

曲面图形如下.

由对面积的曲面积分的几何意义，由于曲面关于面对称，记 前半部分，于是曲面方程可以表示为

从而可知面积

由，输入表达式计算根式，参考表达式为

(1+(d/dy (5^(1/2)/3)((9-y^2)^(1/2)))^2+(d/dz (5^(1/2)/3)((9-y^2)^(1/2)))^2)^(1/2)

计算得到的结果为

可能常用的是蓝色方框的结果. 因此可得

计算二重积分的参考输入表达式为

integrate (2/3) ((4y^2-81)/(y^2-9))^(1/2),dz dy, 0<=y<=3,0<=z<=y

执行计算后显示的结果为

例2  已知为 所围成圆台面，法向指向外侧．计算

积分区域关于, 面都对称，而前面两个部分的函数分别关于变量为偶函数，所以由偶零奇倍的计算性质，积分为

由于积分曲面为简单型曲面，于是由对坐标的曲面积分计算的：一投、二代、三定号思路，可得投影区域为

所以最终需要计算的积分由极坐标计算方法为

借助符号输入面板输入参考表达式为

integrate -e^ρ,dρ dθ, 0≤θ≤2π,1≤ρ≤2

执行后得计算结果为

6、梯度、散度与旋度的计算

例1  计算以下函数的梯度

参考输入表达式为

grad x^2 y^3 sinz

或者将grad替换为del，执行结果显示如下.

例2  计算以下向量场的散度

参考输入表达式为

div (x^2+y,y^2-x,z^2+x y z)

执行结果显示如下.

例3  计算以下向量场的旋度

参考输入表达式为

curl (x^2+y,y^2-x,z^2+x y z)

执行结果显示如下.

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