每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析

练习327 ：计算三重积分

其中积分区域为：

练习327 ：计算三重积分

其中积分区域为：

【参考解答】 ：【思路一】 由积分区域为上半球域，被积函数有两项的平方和，考虑球坐标方法计算三重积分. 建立球坐标变换如下

则依据建立的球坐标系，可知积分域的球坐标变量范围为

所以由三重积分的球坐标计算公式，得

【思路二】 由积分区域为上半球域，用平行于面的平面截取所得区域为圆域，即

且. 又被积函数包含有项，故可以考虑先二后一的截面法计算三重积分. 并且二重积分由于积分区域为圆域，并且包含项，故可考虑极坐标方法，故得

【思路三】 由积分区域为上半球面和面围成，所以为简单的型区域，故可以考虑三重积分先一后二的投影法来计算三重积分，并且在面上的投影区域为

根据投影区域的图形特征和被积函数包含有项，故对于后面的二重积分考虑极坐标方法计算，故得

【注】：对于先一后二方法，如果先不计算定积分，直接将三重积分写成二重积分用极坐标描述的累次积分表达式，并且将的积分上下限和被积函数中的变量用极坐标变量描述，即

则积分方法即为三重积分的柱坐标计算方法. 对于柱坐标、球坐标变换计算方法其实就是三重积分的换元法. 比如由球坐标变换关系式

可得雅克比行列式的绝对值为

故由三重积分换元法公式可以得到三重积分的球坐标计算公式，类似有柱坐标变换的换元结果.