积分不等式证明方法汇总

01 利用定积分定义

例01

设 在上连续，且，证明:

证明：现将区间进行等分，取 。因为

两边取对数得

两边在  时取极限得

02利用定积分的性质

对可积函数  先证出在上有  然后由定积分的性质得

例02

证明：当时， 则 。因 和  在上均为连续函数。由定积分性质可知：

03构造辅助函数

该方法一般适用于被积函数连续情形

证明思路 : 1)将积分上限(或下限)换成，式中相应字母亦换为，移项使一端为。另一端作为辅助函数 ；再由 的单调性得证。

例03

设在上连续且单调增，证明:

证明：令

则

又  在  连续，故在上严格减。而，故  ，即

04拉格朗日公式法

该方法一般适用于被积函数  一阶可导且  或  情形。

证明思路：

1)用

2)由定积分性质作不等式的适当放缩。

例04

设在上有一阶连续导数，证明:

证明：由

有

05莱布尼茨公式法

该方法一般适用于被积函数一阶导数可积情形。

证明思路 :

1)

2)由定积分性质作不等式的适当放缩。

例05a

设在上可积，且，证明:

证明：因为

故

于是

即

例05b

设  在上有一阶连续导数，证明：

证明：因为

即

故

06泰勒公式法

该方法一般适用于被积函数二阶可导或二阶以上可导，且知最高阶导数符号情形。

证明思路 :

1)求出的泰勒展开式;

2)由定积分性质作不等式的适当放缩。

例06

设在上二阶可导证明

证明：的一阶泰勒展开式为：

又

故

于是

即

07积分中值公式法

7.1 积分第一中值公式法

该方法一般适用于被积函数中与均连续，且不变号情形。

证明思路 :

1)

2)一般取为具体函数，通过作不等式的适当放缩。

例07a

设在上连续且单调递增，证明：

证明：即证

所以

7.2积分第二中值公式法

该方法一般适用于被积函数中可积而单调情形

证明思路 :

1)

2)一般取  为具体函数，利用的单调性得证。

例07b

设在上可积且单调递增，证明：

证明：因为单调，由积分第二中值定理

而

则有

08分部积分

用分部积分法证明积分不等式，实质上是使用分部积分法证明一个等式，然后再给出积分估计。

例08

设在有二阶连续导数

求证 :

分析：例用分部积分法导出与 的有关积分的关系

因为

所以，

因此，

09二重积分法

当被积函数积分区间相同，利用变量的对称性及二次积分转化为二重积分来证明。

例09

设在区间上连续，且 ，证明:

证明：记

又

明显，因此

即

10利用函数凹凸性

见前一天的推送

11建立随机模式借助于概率论方法

设为上的随机变量，则有:

(1)若为定义在某区间上连续的下凸函数，则有 ;

(2)若为定义在某区间上连续的上凸函数，则有 

例11

若均在上可积，且，则当为上的下凸函数时，

证明

令  则