FIT·科沿 | 非初等积分

2022 科沿/

几种非初等积分

现在有一个问题：给定一个椭圆：

请计算它的周长。

我们知道，我们把一段曲线L写为参数方程形式x=x(t),y=y(t)后，它的弧长微元为

求L在指定段[a,b]的长度，即为在[a,b]对ds积分。

我们可以仿照计算圆的周长的方法，只计算椭圆在第一象限的长度在×4即可，也就是：

好的，不用算了，不信的话不妨拿草稿纸演算一下，你会惊喜的发现，这个根号去不掉。

其实在这个过程中，我们已经接触到了所谓的非初等积分，而上述的椭圆周长积分，在日后经过欧拉、雅可比、勒让德等人的研究后，形成了所谓的椭圆积分（其中还分为雅可比椭圆积分、勒让德椭圆积分）。

有些同学可能会好奇，既然它的原函数不是初等函数，那么为什么要研究它？因为它很重要，在数学和物理中有着重要的作用，下面就是一些例子：

勒让德研究发现，它的标准形式为：

其中，P(x)为关于x的有理函数，Q(x)是关于x的一般四次多项式。能化为以下三种类型：

令x=sinφ，φ∈（0，π/2），又有：

上图的三种积分合称为勒让德椭圆积分，三式分别称为第一、第二、第三类勒让德椭圆积分；除此之外，还有雅可比椭圆积分：

也分别被称为第一、第二、第三类雅可比椭圆积分。

当φ=π/2或x=1时，又称之为完全椭圆积分，否则为不完全椭圆积分。

椭圆积分已经完全从单纯研究椭圆周长的背景问题中抽离出去、发展开来；它在数学物理学上有着重要的应用；试想一下，我们研究一个单摆在大摆角下的运动问题，其解就涉及椭圆积分，具体来说，结合大物（转动定理）和高数（微分方程）知识，可以很轻易地列出如下转动方程。

从而：

其中sinθ/2=sinα/2sinφ。是的，单摆运动和椭圆似乎没什么关系，但是它偏偏又涉及到椭圆积分的运算；除此之外，力学中，复摆问题、圆轮纯滚动问题、直杆沿墙壁滑落问题均需要涉及椭圆积分。

菲涅尔积分在波动光学中有很重要的作用，它基于菲涅尔衍射提出。数学表达式为：

菲涅尔衍射是一种近似讨论，这是因为按照标量衍射理论来计算衍射问题往往不能得出易于求解的表达式

这个函数脱胎于著名的正态分布（又叫高斯分布）函数：

很遗憾，它的初等原函数也不存在（其中，a≠0）。

上述这些积分都是非常重要的积分，比如说，菲涅尔衍射用以计算光波在近场区域的传播，可以计算任意大小孔径在距离Z处观察面上的衍射场分布。菲涅尔积分则是理论的重要组成。

按照小孔形状，得出的衍射分布有如下几种，孔形状依次为方孔、圆孔、单缝、圆环、三角孔：

再比如，高斯正态分布，这是自然界中最广泛地规律，很多的分布都遵从这一规律，比如说，某门课程期末考试分数（多年）在各个区间的分布，大致趋向于正态分布，大物书上114页提到的麦克斯韦速度分布律，也是正态分布。研究与正态分布函数密切相关的高斯积分就是非常重要的，因为它的出现频率很可能和正态分布一样高。

解法

既然这些函数那么重要，科学家们是不可能放弃研究他们的性质的，所以他们想出了解决问题的方法。

比如说针对高斯积分，我们做如下操作（可以参考高数书P195例11.9）：

从而：

故：

此例还有其他解法，比如引入欧拉伽马函数（它是阶乘在实数和复数上的推广）进行计算。或者应用夹逼定理（参考同济高数纸质书P150例5）。

除此之外，还有很多巧解方法，欢迎同学们在课余时间探索。

千万不要以为这是玩笑，很多时候我们并不需要理论上的精确解，只需要满足给定精度的数值解就可以满足需求。就好像，大家都知道牛顿力学只是相对论力学在宏观低速下的近似，但是计算的时候没有特殊说明，我们还会用牛顿力学列方程求解，这就是因为牛顿力学的精度完全适应于日常生产生活。

所以我们可以通过幂级数（泰勒级数）进行近似计算。比如说计算上面的积分∫（a,b）ex^2dx，我们完全可以将ex^2展开为麦克劳林级数，然后利用麦克劳林级数的良好性质——逐项可积，进行近似计算。

再比如，回归到椭圆周长这个问题，的确我们不能找到它的初等原函数，但是，我们可以对他进行近似计算，通常的平方均值和算术均值近似精度一般，我们有拉马努金近似公式：

以及，椭圆周长的级数表达形式，其中e为离心率：

可以看出椭圆周长的确不存在初等原函数，不能用解析形式表达，但是这并不妨碍我们可以计算所要求的精度下的椭圆周长。

换句话说，绝对意义上的严谨是我们所追求的，但却并不尽然存在，很多时候求一个数值解早已够用；当然，也要感谢那些追求严谨的科学家，他们是人类进步的推动者。

同时这也说明了一个道理，高数书上的积分练习题再难，它至少是初等的；而科学研究过程中会遇到很多看似简单、其实非初等的积分，一个再简单不过的sin(x^2)，就已经是非初等。