知识点专辑——曲线积分与曲面积分

一、对弧长的曲线积分

①曲线弧以参数形式给出 即

则

②曲线弧以极坐标形式给出 即 可转化成

③曲线弧为空间曲线弧

即

则

二、对坐标的曲线积分

若空间曲线由参数方程

给出，那么曲线积分

其中对应于的起点,对应于的终点

三、单连通与复连通区域

设为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分都属于，则称为平面单连通区域,否则称为复连通区域.
对平面区域的边界曲线，我们规定的正向如下:当观察者沿的这个方向行走时,内在他近处的那一部分总在他的左边.

四、格林公式

其中是的取正向的边界曲线.
备注:(1)为平面区域的边界曲线,，取正方向为正;
(2)为封闭曲线。(3）一般被积函数比较复杂
(4）格林公式把二重积分与曲线积分连续起来，即为第二型曲线积分的计算提供了另一种方法。

五、对面积的曲面积分

设曲面由方程给出,在面上的投影区域为，函数在 上具有连续偏导数,被积函数在习上连续，则

六、对坐标的曲面积分

将曲面积分化为二重积分:设积分曲面由方程给出的,在面上的投影区域为，函数在上具有一阶连续偏导数，被积函数在上连续,则有

其中当工取上侧时，积分前取“+”;当工取下侧时，积分前取“-”.

七、高斯公式

定理1     设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数

在上具有一阶连续偏导数，则有

或