《天才基本法》中的一道不定积分好题

《天才基本法》中的一道不定积分好题

一. 引言

最近一部名为《天才基本法》(由雷佳音,张子枫等主演)的电视剧正在热播。这部剧讲述了一个哲学系毕业的女孩林朝夕历尽千帆去追逐自己心中数学梦想的故事。本题就摘自电视剧里一个桥段。老师本想出这道不定积分题让林朝夕挂黑板出丑,但林朝夕几步就写出了答案,并惊艳了全场。下面就让我们来欣赏一下这道不定积分题,一起品味林朝夕的解题过程吧。

二.原题重现

求不定积分: 

三. 问题分析

解决不定积分通常有三种方法:第一换元法,第二换元法,分部积分法。其中第一换元法又叫凑微分法,第二换元法又称代入换元法。显然这道题不管是用凑微分法还是代入换元法都很难下手。又发现被积函数里存在  的形式,故可以考虑用分部积分法。尝试将  先放入微分,然后再分部积分。

四.题目求解

对于不定积分,常用的求解手段之一就是拆相乘变和差,再用不定积分的线性性质对加和减的每一项进行积分,达到化繁为简的目的。不难想到可以对此不定积分做这样的变化:

  可是我们不难发现，不定积分

"求不出来"。而之前想到的是要将放入微分,再分部积分。故自然想到只要把积分 变量变成  ,就可以把  整体放入微分。而只需要在(2)式前凑一个   ,便可以用第一换元法实现把整体放入微分。且神奇的是,  刚好有因式分解:

因此我们可以得到这样的变化:

下面我们就可以用分部积分法先把  整体放入微分了:

再用分部积分法可得:

到这里我们可以惊喜地发现我们"求不出来"的(2)式已经消去,只剩下确定项  因此得到答案:

整理一下,得到完整的计算过程:

温馨提示:不定积分别忘加C.

五.小结

本题存在一定的技巧性,但整体思路清晰。需要对式子仔细观察,耐心思考,并勇于 尝试,才能到达胜利的彼岸。对于求解不定积分,除了要熟练掌握基本解题方法,还需要对各种不同的题型进行大量的刷题,这样才能在考场上算得快,算得准!

附   录

下面给出本题的代码实现过程。我们可以调用Python软件里的Sympy库中的Integral函数来求得不定积分I的表达式。

给出代码：

from sympy import *import mathx=symbols("x")f=Integral((1+x-x**(-1))*(exp(x+x**(-1))),x)f.doit()

运行结果截图如下：

这里需注意还要引入math.py模块了来完成对以e为底的指数函数的输入。