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Part5相干态路径积分及其应用

1谐振子相干态

这里、分别是产生、消灭算符, 满足如下玻色子对易关系:

即粒子数算符. 粒子数算符与哈密顿量对易, 可以得到共同本征态 满足如下本征方程:

同样可以证明 是一组正交完备的本征态, 满足如下关系:

定义粒子真空态 , 满足:

一般地, 有:

其共轭式为:

这里 是一个复数, 且 具有如下形式:

前面的常数因子是归一化常数.

但其一般不正交，有如下关系:

进一步可以得到:

在复平面上, 当 时, 有  ,  这时两个态近似正交. 谐振子的相干态虽然不正交, 却是一组完备基, 这种性质称为超完备性. 有如下完备性关系:

其中积分测度为:

取，则

这样完备性条件可以写为:

但是由于超完备性, 这种展开并不唯一. 同样, 算符也可以展开为:

可以得到如下关系:

特别地, 对体系本征态求迹可以写为对相干态的"求迹":

2多体理论中的玻色子系统相干态

单分量玻色子相干态

这里 仍是复数, 是粒子真空态. 有如下本征方程:

上式的厄米共轭为:

可以得到如下关系:

• 内积(非正交归一)

  凝聚态场论中用到的相干态是非归一化的, 而且相干态本身不同的态之间不正交，一般有如下关系:

Proof.

一般地, 有:

• 完备性

  相干态本身具有超完备性, 但是这里我们使用的是未归一化的相干态, 所以单位算符和前面的形式有所不同:

这是下面推导配分函数路径积分形式的基础.

按量子力学中路径积分的方法, 把 看成是时间(虚时), 分为 个等份, 每一份为 , 得到:

在任意两个相邻 之间插入单位算符  , 得到:

为了方便表示, 令:

实际上 . 考虑 是小量, 展开到一阶, 这时上式中的通项可以展开为:

定义

这样配分函数可以写为:

其中

是作用量. 当 时, 进一步做变换:

可将离散情况连续化, 这里 . 这样配分函数可以写为:

其中作用量 是 的泛函:

边界条件为:

此时的作用量为:

多分量玻色子相干态

其中

定义多分量系统相干态为:

这一相干态是任意单粒子态消灭算符 的本征态, 有如下本征方程:

其厄米共轭为:

同样可以得到如下关系:

• 内积(非正交归一)

一般地, 有:

• 完备性

  有如下恒等算符:

其中泛函积分测度为:

作用量为:

3多体理论中的费米子系统相干态

Grassmann 数

且有

引入粒子数算符:

其满足本征方程:

对应本征态为

其复共轭为:

此时的 和 已经不再是普通的数(复数). 我们称这个"奇怪"的数为Grassmann 数.

这里 是 的复共轭, 但是两者是相互独立的. 对于复数 , 有如下关系:

Grassmann 数自身的乘积运算满足反对易关系, 其与费米子产生和消灭算符间的乘积运算也满足如下反对易关系:

Grassmann 数的函数可以用其泰勒展开定义, 例如函数 为:

可以看出由于 Grassmann 数之间的反对易关系, Grassmann 数的函数的展开总是有限的, 这一点可以推广到多变量的情况.

上式最后的微分运算可以利用 Grassmann 数间的反对易关系将 移动到靠近前面微分的位置然后计算得到:

因此也可以定义对 Grassmann 数的微分 与 Grassmann 数 是反对易的:

同样地, 可以得到如下一阶微分:

通过一阶微分可以计算得到二阶微分:

对 Grassmann 数的二阶微分不同于普通数的二阶微分, 而是有顺序的, 这里是先对 微分, 然后对 微分. 交换微分顺序, 可以得到:

结果与刚才不同, 相差一个负号. 为方便, 可以认为 Grassmann 数的微分之间也是反对易的:

注意这里的 和 是两个独立的量.

即任意常数对 Grassmann 数的积分为零, 只有当被积函数是积分变量的一次项时积分才不为零. 根据定义, 可以得到 Grassmann 数的积分有如下推论:

下面计算 对 的积分:

同样地, 可以计算 对 的积分:

可以看到, Grassmann 数的积分运算结果与前述微分运算结果一致.

单分量费米子相干态

这里 仍代表粒子真空态, 满足 . 这样定义的费米子相干态是费米子消灭算符的本征态, 满足如下本征方程:

Proof.

和玻色子情况类似, 可以得到如下关系:

下面考虑单分量情况下费米子相干态的性质.

• 内积(非正交归一)

Proof.

• 完备性

费米子相干态也是超完备的, 有如下单位算符:

Proof.

注意这里左矢中的负号. 下面证明上式最后一行就是求迹:

Proof.

则其配分函数为:

考虑配分函数具有正规形式:

则

将其写成路径积分的形式, 有

写成连续形式, 有

其中

具有边界条件:

多分量费米子相干态

引入产生、消灭算符对应的本征值:

则可以定义相干态:

满足以下反对易关系:

定义厄米共轭:

这是任意单粒子消灭算符的本征态. 

• 内积(非正交归一)

• 完备性

其中作用量为:

边界条件为:

4数学准备

高斯积分

• 实数单变量

• 实数多变量

• 复数单变量

• 复数多变量

• Grassmann数单变量

• Grassmann数多变量

Stratonovich-Hubbard 变换

其中 . 可以看到 S-H 变换为一种脱耦合手续. 

Proof.

令

则

即有:

5路径积分方法在超导理论中的应用

将升降算符对应的 Grassmann 数记作

则配分函数可以写作

其中

引入四维坐标和四维动量, 即:

有

此时作用量可以写作

注意到

其指数上有四次项, 可利用 S-H 变换解耦合. 首先, 令

则

其中 是忽略系数得到的. 则

因此配分函数可以写作:

其中

则

引入傅里叶变换:

则

其中

我们常称 为 Nambu 旋量, 且

推出

代回配分函数, 得到

其中取平均场近似后, 有

可以得到

其中

则

移项化简可得:

定义

有

利用 Matsubara 求和公式对 求和, 有

按照

将对 的求和转为积分, 有

此即BCS能隙方程, 与第四章结果相同.

(第五章完)

往期回顾

1. 《量子多体理论》笔记-第一章第一讲

2. 《量子多体理论》笔记-第一章第二讲

3. 《量子多体理论》笔记-第二章第三讲

4. 《量子多体理论》笔记-第二章第四讲

5. 《量子多体理论》笔记-第二章第五讲

6. 《量子多体理论》笔记-第二章第六讲

7. 《量子多体理论》笔记-第二章第七讲

8. 《量子多体理论》笔记-第二章第八讲

9. 《量子多体理论》笔记-第三章：零温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用1

10. 《量子多体理论》笔记-第三章：零温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用2

11. 《量子多体理论》笔记-第三章：零温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用3

12. 《量子多体理论》笔记-第三章：零温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用4

13. 《量子多体理论》笔记-第三章：零温单粒子格林函数, 费曼图技术及其应用5