每日一题319：空间曲线上对坐标的曲线积分的三种思路与一般求解思路与方法

考研竞赛数学 · 发表于 2020-10-12 07:20:00

练习题目

练习319 ：设是椭圆柱面与椭圆抛物面相交而成的正向曲线，计算曲线积分

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

【注2】感谢学友的热心分享，欢迎更多学友分享好的学习资源、学习经验和大学生活经历，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ号码：492411912.

参考解答

【注】公式显示不全时请在公式上左右滑动显示

练习319 ：设是椭圆柱面与椭圆抛物面相交而成的正向曲线，计算曲线积分

【参考解答】：【思路一】 由题设可知，曲线的方程为

由被积表达式定义在曲线上，得

问题转换为计算上的曲线积分，由格林公式直接的

于是由二重积分的换元法，令

得

于是得

【思路二】 取曲面

方向向上，则由斯托克斯公式，得

因为，并由对坐标的曲面积分直接计算法，以上积分简化为

余下步骤同思路一.

【思路三】 由思路一可得曲线的参数方程为

由对坐标的曲线直接参数方程方法和华莱士公式，代入得

【注】：两类曲线积分、两类曲面积分特别注意应用被积函数，或被积表达式定义在曲线、曲面上，应用描述曲线、曲面的等式变换、改写被积表达式来转换积分模型，简化计算过程！其中对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分注意应用“偶倍奇零”的计算性质简化积分计算，而对坐标的曲面积分可以考虑“奇倍偶零”的计算性质简化积分计算，不过要特别注意曲面形状与方向的对称性！对坐标的曲线积分一般不考虑对称性来转换积分计算！

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