练习327 ：计算三重积分
其中积分区域为：
【参考解答】 ：【思路一】 由积分区域为上半球域，被积函数有两项的平方和，考虑球坐标方法计算三重积分. 建立球坐标变换如下
则依据建立的球坐标系，可知积分域的球坐标变量范围为
所以由三重积分的球坐标计算公式，得
【思路二】 由积分区域为上半球域，用平行于面的平面截取所得区域为圆域，即
且. 又被积函数包含有项，故可以考虑先二后一的截面法计算三重积分. 并且二重积分由于积分区域为圆域，并且包含项，故可考虑极坐标方法，故得
【思路三】 由积分区域为上半球面和面围成，所以为简单的型区域，故可以考虑三重积分先一后二的投影法来计算三重积分，并且在面上的投影区域为
根据投影区域的图形特征和被积函数包含有项，故对于后面的二重积分考虑极坐标方法计算，故得
【注】：对于先一后二方法，如果先不计算定积分，直接将三重积分写成二重积分用极坐标描述的累次积分表达式，并且将的积分上下限和被积函数中的变量用极坐标变量描述，即
则积分方法即为三重积分的柱坐标计算方法. 对于柱坐标、球坐标变换计算方法其实就是三重积分的换元法. 比如由球坐标变换关系式
可得雅克比行列式的绝对值为
故由三重积分换元法公式可以得到三重积分的球坐标计算公式，类似有柱坐标变换的换元结果.
关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：
• 第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析• 第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析• 第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析• 第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析另外在“第四届、第八届、第九届全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”等在线课堂对三重积分的柱坐标、球坐标和换元法分别进行了深入的分析与探讨！公众号回复“在线课堂”或者点击“高数线代”菜单中的“在线课堂专题讲座”可以获取链接直接进入“公共基础课”在线课堂，选择相应视频课程进行查漏补缺和自主学习，进一步加强理解与应用！
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发表于 2020-11-2 07:20:00
