每日一题176|n重积分的数学干货，认真做

定义. 设 为有界闭区域 上的有界函数，则 在 上的 重积分定义为

其中， 为分割 第 个小区域的直径，

• 对于 维方体 上连续函数 , 它的积分可以化为累次积分

• 对于 重积分从 的换元

两组变量之间的 维体积元素的关系为

所以积分的换元公式为

例1. 设 连续, 证明:

证. 利用数学归纳法，当时，显然成立；对于，假设对于成立，则有

即证.

例2. 设 连续, 求证：

证. 由Kolmogorov强大数定律有

再由 连续有界, 然后根据控制收敛定理可得

它的一般解答见一道n重积分结论.

例3. 设 连续, 求证：

证. 考虑随机变量，它们和密度函数一样，即期望值

根据大数定理

当 , 则

由连续性和收敛性, 则

例4. 将 上的 重积分

化为单重积分, 其中 为连续函数.

证. 令 ，依次同理可得

由于

所以

例5. 计算

其中 为有界闭区域

解. 考虑极坐标变换

则有

因此