高尔夫球表面为什么是凹凸不平的？

众所周知，高尔夫球表面的凹痕对其空气动力学特性至关重要：它们会产生湍流，减少球的阻力。这听起来是不是违反直觉？一般来说，光滑的物体比粗糙的物体更符合空气动力学。在今天的文章中我们将深入探讨这个看起来有明显悖论的问题；学习如何在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用这些知识模拟高尔夫球的轨迹，最终找到击球的最佳角度。阅读本文，了解获得一杆进洞的机会……

从观察到数学模型

虽然我不知道如何打好高尔夫球，但是我认为球表面凹痕的存在是有原因的，可能是为了美观或让球在空中飞得更快。

现在，通过工程师的视角再看一遍那些熟悉的球：为什么它们有凹痕？我可以使用 COMSOL Multiphysics 模拟高尔夫球吗？我可以优化我的击球方式以减少丢球，并有可能打出标准杆吗？之前的一篇文章讲解了“借助仿真提升高尔夫的挥杆技巧”，但仍需要更多可以帮助我的信息，所以我找到了相关教科书……

对阻力危机的观察

纵观历史，科学家们研究了许多不同形状的流动。例如，涡街是由圆柱体绕流产生的。虽然球体不会产生这种大的交替流动结构，但流动特性也可以与雷诺数联系起来。在密度为  , 动力黏性为 , 速度为  的流体中的直径为  的球体，雷诺数 Re 由下式定义：

低雷诺数流动被认为是层流，黏性力占主导地位。反之，如果雷诺数很大，则流动是湍流，惯性力占主导地位。与其比较阻力的绝对值 ，即物体对流动的阻力，较为常规的做法是定义无量纲阻力系数 ：

其中， 是球的横截面积。

Gustave Eiffel 和 Ludwig Prandtl 几乎同时观察到，根据流态的不同，球体的阻力系数不是恒定的，甚至在很小的雷诺数范围内也有显著的差异。这种阻力系数的突然下降通常被称为阻力危机，在其他类型的球（如足球和橄榄球）中也可以观察到。唯一的区别是阻力危机发生的位置，如下图所示。

光滑的球和高尔夫球的阻力系数分布比较。凹痕已将阻力危机转向较低的雷诺数值，但与光滑的球相比，下降幅度较小。另请注意，高尔夫球的阻力系数仅在有限的雷诺值范围内较小。

已知球手击出的高尔夫球的典型速度约为 260 公里/小时（160 英里/小时），考虑高尔夫球官方的设计（ 42.67 毫米），可以给出一个典型的雷诺数 。从上图可以看出，这使得阻力系数落在雷诺数的完美范围内：此时阻力系数大约是光滑球阻力系数值的一半。这就解释了高尔夫球上有凹痕的原因。对于高尔夫球将经历的特定雷诺数范围，阻力较低。因此，球可以走得更远。

你可能对这个答案不满意。我们观察到，有凹痕的高尔夫球具有较低的阻力，但我们还没有解释 为什么阻力危机发生在较低的速度。要理解这种现象，我们必须仔细观察球体周围的流动。

产生阻力危机的原因

首先，我们回顾一下，物体的阻力是由两个来源引起的：

1. 压差阻力，也称为 型阻，由在物体周围的压力分布产生。

2. 沿边界的剪切应力产生的黏性阻力

对于钝体，例如光滑的球，压差阻力在所研究的雷诺数范围内最为显着。因此，球体周围的压力分布将决定其总阻力。

在不涉及湍流理论的情况下，首先在球体的前部形成层流边界层（流动在几乎不交换质量或动量的不同层中分离）。从这一点来看，有两种选择，具体取决于流动的类型：

1. 如果流动是充分的层流（低雷诺数），边界层将没有时间过渡到湍流边界层，就会由于不利的压力梯度在大约 82° 的角度处分离，并在球体后面产生大的尾流。

2. 如果流动是充分的湍流，边界层将有时间在临界 的82°之前过渡到湍流边界层。当这种情况发生时，流动会更好地混合，这使得边界层顶部的动量交换成为可能。这会使边界层底部获得能量，增加了壁面附近的速度梯度，并将流动分离延迟到大约 120°的角度。看起来流动 “黏”在表面上的效果更好。

高尔夫球和光滑球体后面的湍流尾流的比较。雷诺数约为 1e5。

源自湍流边界层分离的带凹痕的高尔夫球（顶部）和源自层流边界层分离的光滑球（底部）后面的湍流尾流的比较。请注意，凹痕球的分离点位于更远的下游，尾流也更小。

大量能量在湍流尾流中损失，使压力显著下降。因此，作为球体的主要阻力，压差阻力就主要受尾流区域大小的影响。根据这些信息，阻力系数图就更能说得通。对于高尔夫球来说：

• 由于凹痕诱导产生的小涡流，雷诺数较低时会发生从层流边界层到湍流边界层的过渡。这会产生较小的尾流，因此阻力较小。

• 与光滑的球相比，凹痕球的阻力危机并不深。对于相似的尾流大小，粗糙的表面使得来自前方球体的黏性阻力变得不可忽略。

高尔夫球的空气动力建模

现在，我们明白了为什么高尔夫球会有凹痕：阻力较低，因此球可以走得更远。为了知道球可以走多远，我们首先需要计算它的轨迹。作用在球上的力和初始条件如下图所示，忽略浮力的影响，因为球几乎比相应体积的空气重 1000 倍。

初始条件和作用于高尔夫球上的力。

初始条件可以从之前的性能分析的最终结果中得出，其中球被 7 号铁杆以 145 公里/小时（90 英里/小时）的轴速击打：

• 初始球速：187 公里/小时（116 英里/小时）
• 初始转速：6113 转/分
• 初始发射角度：17.4°

使用牛顿第二定律对质量为  的球进行分析， 是它的加速度和  是它的重力：

虽然可以说结果是针对老式高尔夫球获得的，而且现在的曲线可能有所不同，但 Bearman 和 Harvey 的结果涵盖了现有文献中最大范围的雷诺数和自旋因子。因此，不应将本文中获得的结果视为现代高尔夫球的真实值。下面的曲线是通过使用结合使用 COMSOL 模型和曲线拟合 App 对来自参考文献1 中图 9 的数据使用曲线数字化仪 App 拟合三次多项式曲线而获得的：

以自旋因子计算的阻力和升力系数分布。

光滑球的阻力系数取自标准阻力相关性（见第一张图片），升力系数近似等于旋转高尔夫球的升力系数（实际上这个系数更小）。

式中， 是一个实验常数。

和.

该方程组由一组常微分方程 (ODE) 组成，由于所有变量之间的依赖关系，它可能看起来很复杂。然而，使用 COMSOL Multiphysics 来实现和求解实际上很简单。

在 COMSOL Multiphysics® 中建立高尔夫球模型

实现这个问题的最简单的方法是在一个 0 维组件中使用 事件 接口，它既可以使用全局方程节点求解方程8，并在球落地时（）停止计算。

设置研究使用的变量。

第一步是设置研究使用的不同变量。在软件中，它们是通过不同的函数和全局参数来计算的。特别是， smooth 参数决定了被发射球的类型：

• 带凹痕的高尔夫球 ( smooth=0)

• 光滑球 ( smooth=1)

数量 xt 和 yt 是位置的时间导数，由事件接口计算。

求解球的位置的全局方程组。

第二步是使用相应的初始条件建立方程8的系统。由于已经定义了所有参数和变量，因此这一步很简单。

离散状态接口用于定义球是否已经落地。

与之前的文章一样，添加一个最适合开/关条件的离散状态变量。这代表了球的整体状态：它要么已经着陆，要么没有。最初，球被认为没有落地，所以 landed=0。

指示器状态接口仅仅是当前的高度。一旦球落地，离散状态就会打开。

离散状态只有当球接触地面时才会被更新。我们不知道这个事件什么时候会发生，但我们可以用数学方法来翻译它（高度变成负数）。这就是隐式事件节点的确切用途：当指示器状态（此处为当前高度）满足特定条件时，事件就被触发。

求解器序列被修改以添加停止条件。

最后一步是创建研究节点。参数研究 可以被用来依此计算高尔夫球和光滑球，和随时间变化的研究可以用于求解球的轨迹。为了事件被激活时停止计算，需要修改瞬态研究中的求解器序列。

仿真结果

现在一切都设置好了，让我们开始研究吧！

高尔夫球和被 7 号铁杆击中的光滑球的轨迹的实时动画。与光滑球相比，有凹痕的球受到的阻力要小得多（颜色图例显示了阻力系数）。请注意，球在轨迹的顶部经历了阻力危机，其速度（因此雷诺数）变低。

请注意，轨迹的形状不是抛物线，如果忽略阻力或升力，人们可能会发现。球首先几乎直线上升，然后在达到最大高度后突然下降。从结果中可以看出，与光滑的球相比，带有凹痕的球前进了 25%（30 米或 33 码）。换句话说，现在离草地更近了，并且不需要额外的力！

这个解释来自这样一个事实，即在整个飞行过程中，对抗球运动的阻力对于高尔夫球来说要小得多（原因在开头已经提到）。当球达到其最大高度时，与高度成正比的势能也达到最大值。这种能量转移是在损失动能的情况下进行的；所以球走得更慢。因此，雷诺数减少（或等效地，自旋因子增加）并且阻力因此增加。

关于大约 150m（165 码）的绝对运球距离，这远大于普通球员的典型高尔夫击球距离（128 m 或 140 码），但处于 PGA 球员典型击球距离的下限。考虑到阻力和升力数据并非源自现代高尔夫球，该结果是合理的。

寻找最佳发射角度

凹痕对高尔夫球的影响现在应该很清楚了：它们使球飞得更远。然而，实际上，这并没有说明我应该如何 击球。假设杆身速度和攻角恒定，我应该给球施加什么发射角度，才能优化运球距离？第一种方法是运行参数研究，甚至是优化研究，来找到该值。这是一个图表，显示了在给定攻角和旋转速率下，根据发射角度的运球距离。

参数研究的结果，使用 -4.3° 的攻角和 6113rpm 的初始旋转，使用 7 号铁杆。看起来最佳发射角度应该在 20° 左右。

从这个数字来看，最佳攻角似乎在 20° 左右。然而，PGA 高尔夫球手（理论上，他们应该平均接近优化的角度）平均以 16° 的角度射击。出了什么问题？我们关于恒定旋转速率的假设是错误的：以更大的发射角度击球意味着击球时杆面需要“更加水平”。就像网球中的球被“切片”一样，由于摩擦力更大，高尔夫球旋转得更快，但速度更慢。

恒定攻角的两个动态杆面倾角的比较。该角度的测量是与水平线相比。当动态杆面倾角增加时，发射角增加。由于动态杆面倾角和攻角（通常称为“旋转倾角”）之间的角度变大，球会旋转得更快。

找到发射角度、旋转速率和球速之间的关系不是直接的，而且不需要实验或模拟的结果。那么，既然我们已经准备好了一个高尔夫球模型，就通过参数化来使用它！

教程模型参数化结果。使用三次样条对这些点进行插值以获得更平滑的曲线。正如预期的那样，较大的发射角会增加旋转速率，而速度则具有相反的行为。

我们必须谨慎对待结果，并应该进行更详细的研究，包括网格收敛研究，与其他轴的曲线比较等。尽管如此，结果仍然足够符合现实。

7 号铁杆的运球距离，取决于非恒定旋转的 -4.3° 攻角的发射角度。曲线已转移到较低的发射角度值，以更好地捕捉真实世界的行为。

现在我们可以使用正确的自旋和速度值再次运行参数研究。请注意，曲线已向左移动。换句话说，似乎减小发射角度（因此是动态杆面倾角）有助于减少自旋，并为球提供更高的平移动能。正如人们所期望的那样，该曲线并未以 16° 为中心。然而，为了获得这个结果，人们提出了许多假设（例如阻力和升力的分布以及自旋速率的相关性），这些假设对最终结果有很大影响。关于现代高尔夫球和球撞击分析的数据越多，越有助于获得更准确的结果。

结论

在今天的文章中，我们回答了一个关于高尔夫球凹痕的看似简单的问题，这与特定雷诺数范围内球体上湍流边界层的行为有关。这也概述了工程中的一个经典过程。对普通物体的观察使我们对复杂的物理现象有了更深入的了解，进而使我们能够在 COMSOL Multiphysics 的某些假设下对其进行建模和验证。最后，我们找到了一个最佳的发射角度，并提取了对真实击球有用的信息。

很多高尔夫球观众可能已经问过与我类似的问题。要记住的教训是，尽量降低动态倾角，同时保持相同的攻角，以降低旋转速度。虽然仿真结果听起来很简单，但我不确定如何在球道上做到这一点。所以，如果要打好高尔夫球需要请教专业的高尔夫教练，而不是模拟工程师！

自己尝试

尝试在 COMSOL Multiphysics 中计算高尔夫球的轨迹。点击”阅读原文“查看文章中的模型文件：

参考文献

1. P. Bearman and J.K. Harvey, “Golf ball aerodynamics”, Aeronautical Quarterly, vol. 27, no., pp. 112–122, 1976.

2. A.J. Smits and D.R. Smith, “A new aerodynamic model of a golf ball in flight”, Science and Golf II, Taylor & Francis, pp. 433–442, 2002.