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一、原函数 【注】如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中任何两个原函数之间只相差一个常数．对于不同描述形式的原函数，相差的常数可以通过取特定变量值来得到. 比如(1) 若函数在区间上连续，则在区间上存在原函数.(2) 如果在区间上函数有第一类间断点和第二类无穷间断点，则函数在该区间上没有原函数；如果函数在区间上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在有原函数.例1 包含振荡间断点的区间内定义的函数可能存在有原函数. 如例2 包含第一类间断点的区间内函数不存在原函数. 在点出分别为函数的第一类跳跃间断点和可去间断点，它们在区间上都不存在原函数. 对于，在处对应着分段函数的尖点位置；对于，假设有原函数，则在时，有，由可导必定连续，则，所以在内，从而有，从而与所设为的原函数矛盾.例3 包含第二类无穷间断点的区间内函数不存在原函数. 如 在区间上不存在原函数，其中为函数的无穷间断点. 虽然通常记 但这仅仅是一种形式上的记法，并不代表在区间上存在原函数，因为对数函数在处根本没有定义，当然也就不可能存在导数. 三、不定积分 函数在区间上所有原函数的一般表达式称为在上的不定积分，并且有- 称为积分变量，即仅仅对变量求导数或微分，其余符号对于积分而言为常数．
【注】 不定积分是所有原函数的集合，结果一定不能缺少！没有则仅仅是原函数集合中的一个元素. 四、不定积分基本性质 1、求导、微分与积分的互逆运算【注】 不定积分与求导、微分互为逆运算，交替使用相互“抵消”. 最后的一个运算决定结果形式，最后运算为不定积分，则结果不能忽略任意常数；为微分运算，则结果不能缺少.2、不定积分线性运算性质五、基本不定积分公式 由基本初等函数的导数基本公式，逆向推导有基本初等函数的不定积分基本计算公式，它们是求不定积分的基础，必须熟记和掌握！具体基本积分表参见后面的课件或教材！【注1】基本不定积分基本公式表中的公式中的d就为微分运算符. 其中的积分变量符号x可以直接替换为任意可导函数表达式.不过记得一定是等式两端所有x都换成相同的表达式. 如由此可知是的一个原函数. 这个结果的应用直接得到后面不定积分的“凑微分”法或第一类换元法. 【注2】对于不定积分结果在计算出来以后，一定要通过求导运算验证其结果是否就为被积函数. 只要求导结果为被积函数，则不管结果的描述形式如何都为正确结果.
关于不定积分、定积分与多元函数积分计算正确性的验证和思路、方法的有效性的验证与确认，可以参见如下的推文给出的方法：
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发表于 2020-12-19 07:20:00
